Wstęp do modelowania komputerowego w fizyce
Ten innowacyjny podręcznik powstał z myślą o studentach fizyki i inżynierii. Oferuje zbiór interesujących projektów-problemów z różnych obszarów fizyki. Ich rozwiązanie wymaga zastosowania metod numerycznych jako narzędzi, co sprawia, że metody te są przyswajane w naturalny sposób. Każdy projekt zawiera omówienie podstaw, matematyczne sformułowanie problemu, metody numeryczne, algorytmy oraz zestaw ćwiczeń z rozwiązaniami.
Wstęp 1
Jak korzystać z podręcznika 5
Pierwsze kroki 9
0.1 Znajdowanie miejsca zerowego funkcji 1D 9
0.1.1. Metoda bisekcji 9
0.1.2. Metoda Newtona–Rhapsona oraz siecznych 10
0.2 Znajdowanie minimum (maksimum) funkcji 1D 10
0.2.1. Metoda złotego podziału 10
0.2.2. Inne metody 11
0.3 Ćwiczenia 12
1 Projekt: prostokątna skończona studnia kwantowa–stacjonarne równanie Schrödingera w jednym wymiarze 13
1.1 Podstawy fizyczne: wybrane koncepcje mechaniki kwantowej 14
1.2 Problem: stany własne cząstki w prostokątnej skończonej studni potencjału 16
1.3 Metody numeryczne: wyznaczanie miejsc zerowych funkcji charakterystycznych 17
1.4 Ćwiczenia 18
2 Projekt: dyfrakcja światła na szczelinie 21
2.1 Podstawy fizyczne: elementy fizyki fal 21
2.2 Problem: dyfrakcja fali na szczelinie 24
2.3 Metody numeryczne: schematy oparte na lokalnych aproksymacjach funkcji 25
2.3.1. Pochodne: schematy 2, 3 i 5-punktowy 25
2.3.2. Kwadratura: metoda prostokątów, trapezów oraz parabol (Simpsona) 26
2.4 Ćwiczenia 28
3 Projekt: wahadło jako wzorzec jednostki czasu 33
3.1 Podstawy fizyczne: zasady dynamiki Newtona, równanie ruchu 33
3.2 Problem: wahadło matematyczne jako wzorzec jednostki czasu 35
3.3 Metody numeryczne: formuły rekurencyjne oparte na lokalnej ekstrapolacji funkcji podcałkowej całki 1-krokowej 36
3.3.1. Metoda Rungego–Kutty 37
3.4 Ćwiczenia 38
4 Projekt: układ planetarny 41
4.1 Podstawy fizyczne: prawo powszechnego ciążenia 41
4.2 Problem: ruch planet w polu grawitacyjnym gwiazdy 43
4.3 Redukcja ruchu pojedynczej planety w polu centralnym do jednego wymiaru 44
4.4 Metody numeryczne: algorytm Verleta 46
4.5 Ćwiczenia 47
5 Projekt: grawitacja wewnątrz gwiazdy 51
5.1 Podstawy fizyczne: prawo Gaussa, równanie Poissona 52
5.2 Problem: pole grawitacyjne od ciągłego rozkładu gęstości masy 53
5.3 Metody numeryczne: algorytm Numerowa–Cowellsa 55
5.4 Ćwiczenia 56
6 Projekt: mody normalne w falowodzie cylindrycznym 57
6.1 Podstawy fizyczne: równanie falowe, fala stojąca 57
6.2 Problem: mody własne w światłowodzie 59
6.3 Metody numeryczne: metoda strzał 59
6.4 Ćwiczenia 60
7 Projekt: właściwości ściany jako izolatora termicznego 63
7.1 Podstawy fizyczne: dyfuzja stacjonarna 63
7.2 Problem: dyfuzja stacjonarna ciepła przez ścianę 65
7.3 Metody numeryczne: metoda różnic skończonych 65
7.4 Ćwiczenia 68
8 Projekt: kondensator cylindryczny 71
8.1 Podstawy fizyczne: zasada wariacyjna dla układu elektrostatycznego 72
8.2 Problem: kondensator cylindryczny 73
8.3 Metody numeryczne: metoda elementów skończonych (FE) 73
8.4 Ćwiczenia 74
Projekty zaawansowane 77
9 Projekt: sprzężone oscylatory harmoniczne 79
9.1 Problem: ruch sprzężonych oscylatorów harmonicznych 80
9.2 Zadania 81
10 Projekt: problem Fermiego–Pasty–Ulama–Tsingou 87
10.1 Problem: dynamika jednowymiarowego łańcucha oddziałujących mas punktowych 87
10.2 Zadania 92
11 Projekt: zimna gwiazda wodorowa 95
11.1 Problem: rozkład gęstości masy w zimnej gwieździe wodorowej 95
11.2 Algorytm numeryczny 96
11.3 Zadania 98
12 Projekt: prostokątna studnia kwantowa wypełniona elektronami – idea obliczeń samouzgodnionych 101
12.1 Problem: studnia kwantowa wypełniona elektronami z neutralizującą ładunek dodatnią galaretą 103
12.2 Zadania 103
13 Projekt: równanie Schrödingera zależne od czasu 105
13.1 Problem: ewolucja czasowa funkcji falowej w 1D studni kwantowej 105
13.2 Zadania 108
14 Projekt: równanie Poissona w 2D 111
14.1 Problem: reguła wariacyjna dla dwuwymiarowego układu elektrostatycznego i teoria jednoznaczności 112
14.2 Metody numeryczne: metoda elementów skończonych dla układu 2D 113
14.3 Zadania 114
Literatura uzupełniająca 117
A Materiały dodatkowe 119
A.1 Reprezentacja Eulera liczby zespolonej 119
A.2 Lokalna reprezentacja funkcji jednej zmiennej w postaci szeregu potęgowego 121
A.2.1. Szereg Taylora 121
A.2.2. Wielomiany Lagrange’a 122
A.3 Równanie ruchu wahadła Wilberforce’a 122
A.4 Związek dyspersyjny w problemie FPUT 123
A.5 Równoważność sformułowania różniczkowego i wariacyjnego w elektrostatyce 123
A.6 1. i 2. prawo jednoznaczności rozwiązań równania Laplace’a 124
A.6.1. Pierwsze prawo jednoznaczności 125
A.6.2. Drugie prawo jednoznaczności 126
A.7 Dyskretyzacja funkcjonału energii całkowitej w elektrostatyce 127
A.8 Gęstość gwiazdy 128
A.9 Zależność energii sieci atomów wodoru w układzie regularnym od objętości komórki elementarnej 131